6.1 Función de Probabilidad.

Esta función es la que no da información sobre la probabilidad de un evento cualquiera dentro del espacio probabilístico.
El establecer la definición de la función de probabilidad se debe hacer para los casos en los que se tienen variables aleatorias discretas, y para los casos en los que se tienen variables aleatorias continuas.

Caso discreto. Sea una v.a. \(X\) que toma valores \(x_0, x_1, \ldots\) con probabilidades \(p_0 = P(X = x_0), p_1 = P(X = x_1), \ldots\) (esta es una lista infinita, pero numerable, de probabilidades asignadas a los posibles valores de \(X\)). Se define entonces la función de probabilidad discreta como: \[f(x) = \begin{cases} P(X = x), & \text{ si }x = x_0, x_1, \ldots \\ 0, & \text{ de otra forma.} \end{cases}\]

Notamos que una función definida de esta forma, cumple con todos los axiomas de Kolmogorov y es, por lo tanto, una medida de probabilidad. De lo que se tiene: \[\begin{align} f(x) &\ge 0 \\ \sum f(x) &= 1 \end{align}\] De esta forma, podemos definir la probabilidad de un evento cualquiera como: \[P(X \in A) = \sum_{x \in A} f(x)\]

Esto es así ya que, como vimos, \(A\) estaría formado por la unión de eventos disjuntos, cuya probabilidad es la sumatoria de las probabilidades individuales.

Ejemplo. Sea \(X\) una v.a. que toma los valores \(1,2,3\) con probabilidades \(0{,}3, 0{,}5, 0{,}2\), respectivamente. Definimos la función de probabilidad como: \[f(x) = \begin{cases} 0{,}3, & \text{ si }x = 1 \\ 0{,}5, & \text{ si }x = 2 \\ 0{,}2, & \text{ si }x = 3 \\ 0, & \text{ de otra forma.} \end{cases}\] cuyo gráfico se muestra a continuación.

ggplot(NULL, aes(x = 1:3, y=c(.3, .5, .2))) +
  geom_segment(aes(x = 1:3, y = rep(0, 3), xend = 1:3, yend = c(.3, .5, .2)), linewidth = 2, linetype = "dashed", colour = "gray75") +
  geom_point(size = 3) +
  geom_hline(yintercept = 0, linewidth = 3) +
  geom_point(aes(y = rep(0, 3)), size = 3, shape = 21, fill = "white") +
  ylab("f(x)") + xlab("x") +
  theme_light(base_size = 14) +
  theme(panel.grid = element_blank())

a partir de la cual podemos calcular la probabilidad de cualquier evento, como por ejemplo \(P(X\ge2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + \ldots = 0{,}5 + 0{,}2 + 0 + \ldots = 0{,}7\) o \(P(\vert X\vert = 1) = P(X = 1) + P(X = -1) = 0{,}3 + 0 = 0{,}3\).

En el ejemplo anterior vemos que no hubo necesidad de definir un experimento aleatorio para construir una función de probabilidad. Esta libertad nos permite definir arbitrariamente funciones de probabilidad en esquemas genéricos, lo único que se necesita es que obedezcan los axiomas de Kolmogorov.

Ejercicio. Una muestra de \(7\) semillas contiene \(2\) infectadas con una enfermedad. Un agrónomo compra \(3\) de las semillas al azar. Si \(x\) es el número de unidades defectuosas que compra el agrónomo, calcule la distribución de probabilidad de \(X\). Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad.

Ahora definimos la función de probabilidad para el caso contínuo.

Caso continuo. Sea \(X\) una v.a. continua. Decimos que \(f(x)\) es la función de densidad de la variable \(X\) en el intervalo \([a, b]\in\mathbb{R}\) si se cumple: \[P(X \in[a,b]) = \int_a^b f(x)dx\] donde \(f(x)\) es una función no negativa e integrable en el intervalo \([a,b]\)

Bajo esta definición, es claro que se cumplen los criterios de Kolmogorov: \[\begin{align} f(x) &\ge 0 \space \forall \space x \in \mathbb{R} \\ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) &= 1 \end{align}\]

Ejemplo. Sea \(X\) una v.a. continua con función de probabilidad definida como: \[f(x) = \begin{cases} 3x^2/2, & \text{ si } -1 < x < 1 \\ 0, & \text{ de otra forma} \end{cases}\] cuyo gráfico se muestra a continuación.

x <- seq(-1, 1, by=.1)

ggplot(NULL, aes(x = x)) +
  geom_line(aes(y=1.5 * x ** 2), linewidth = 2) +
  geom_line(aes(x = c(-1.5, -1), y=c(0, 0)), linewidth = 2) +
  geom_line(aes(x = c(1, 1.5), y=c(0, 0)), linewidth = 2) +
  geom_point(aes(x=c(-1, 1), y = rep(0, 2)), size = 3, shape = 21, fill = "white") +
  ylab("f(x)") + xlab("x") +
  theme_light()

a partir de la cual podemos calcular la probabilidad de cualquier evento, como por ejemplo: \[\begin{aligned} P(X \le 1/3) &= \int_{-\infty}^{1/3}f(x)dx \\ &= \int_{-\infty}^{-1}0dx + \int_{-1}^{1/3}\frac{3}{2}x^2dx \\ &= 0 + \frac{(1/3)^3}{2} - \frac{(-1)^3}{2} \\ &= \frac{1}{54} + \frac{1}{2} \\ &= \frac{14}{27} \end{aligned}\]

Al igual que antes, no hubo necesidad de definir un experimento aleatorio para construir una función de probabilidad continua.

Ejercicio. El tiempo que pasa, en segundos, para que un murciélago detecte entre árboles sucesivos a una presa que se mueve a una velocidad dada es una variable aleatoria continua con una función de distribución acumulativa: \[F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 1 - e^{-8x}, & x ≥ 0 \end{cases}\] Calcule la probabilidad de que el tiempo que pase para que el murciélago detecte entre árboles sucesivos a las presas que exceden una velocidad de escape sea menor de 12 minutos.