8.4 Distribución \(F\).

Se dice que la variable aleatoria continua \(X\) tiene una distribución \(F\) de Fisher-Snedecor con \(a > 0\) y \(b > 0\) grados de libertad si su función de densidad viene dada por:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{\Gamma(\frac{a + b}{2})}{\Gamma(\frac{a}{2})\Gamma(\frac{b}{2})}\left(\frac{a}{b}\right)^{a/2}x^{a/2 - 1}\left(1 + \frac{a}{b}x\right)^{-(a + b)/2} & \text{si }x > 0 \\ 0 & \text{de otra forma.} \end{cases}\]

y se escribe

\[X \sim F(a, b)\]

La gráfica de \(f(x)\) se muestra a continuación.

Figure 8.10: Función de densidad de una variable aleatoria \(F(a, b)\), para difernetes combinaciones de los parámetros.

Es posible obtener valores de probabilidad acumulada en R usando el comando pf, el cual da \(F(x) = P(X \le x)\), que no tiene una expresión sencilla reducida.

Para esta distribución, es posible demostrar que:

\[\begin{aligned} & E(X) = \frac{b}{b - 2}, \quad b > 2 \\ & Var(X) = \frac{2b^2(a + b - 2)}{a(b - 2)^2(b - 4)}, \quad n > 4 \end{aligned}\]

La distribución \(F(a, b)\) aparece como resultado de realizar operciones entre variables aleatorias con distribución Ju-Cuadrada, como se muestra en la siguiente proposición.

Sean \(X\) y \(Y\) dos variables aleatorias independientes con distribución \(\chi^2(a)\) y \(\chi^2(b)\), respectivamente. Entonces: \[\frac{X/a}{Y/b} \sim F(a, b)\]