12.1 Estadístico de Prueba.

El estadístico de prueba se construye a partir de la información que se tiene del parámetro poblacional \(\theta\), es decir, usando el estimador \(\hat{\theta}\) calculado a partir de la muestra de tamaño \(n\).

Ya hemos construido estadísticos con los cuales hacer inferencias sobre distintos estimadores. Para desviaciones con respecto a un valor promedio:

\[\hat{Z} = \frac{\hat{\theta} - \theta}{SE(\theta)} \sim N(0,1)\]

o, en caso de no tener un \(n\) lo suficientemente grande para tener un buen estimador de \(SE(\hat{\theta})\), se usa:

\[\hat{t} = \frac{\hat{\theta} - \theta}{\hat{SE(\hat{\theta})}}\]

que se distribuye como una \(t\)-Student con grafos de libertad que dependen del tamaño de la muestra (véase los ejemplos más adelante). Para contrastes de hipótesis sobre la varianza:

\[\hat{X}^2 = \frac{(n-1) Var(\hat{\theta})}{Var(\theta)} \sim \chi^2(n-1)\]

o, si se trata de hacer inferencia sobre la proporción de dos varianzas:

\[\hat{F} = \frac{Var(\hat{\theta_1})Var(\theta_2)}{Var(\hat{\theta_2})Var(\theta_1)} \sim F(n_1 - 1, n_2 - 1)\]

Ejemplo. Siguiendo con nuestro ejemplo de la concentración de andrógenos luego de una inyección de succinilcolina, podemos trabajar con las diferencias \(d_i\) (para \(i=1, \ldots, n\)) entre la concentración de andrógenos antes y 30 min después de la inyección del metabolito.
Cada \(d_i\) es la realización de una variable aleatoria \(D_i\) independiente, cuya ley de probabilidad es la misma para todo \(i=1,\ldots, n\). Podemos construir un estadístico basado en estas diferencias para verificar si de verdad hay un cambio en la concentración de andrógenos, tal como hicimos antes para construir IC: \[\hat{t} = \frac{\bar{d} - D}{\hat{S}_d/\sqrt{n}}\] Como dijimos antes, el contraste se hace bajo la suposición de que la hipótesis nula es cierta. En este caso, según la hipótesis nula \(D = 0\) (vea la sección anterior), por lo que podemos obtener un valor para el estadístico: \[\hat{t} = \frac{\bar{d}}{\hat{S}_d/\sqrt{n}} = \frac{9.85}{4.77} = 0.14\] Este estadístico es un valor observado de los posibles valores que puede adoptar el estadístico de acuerdo a la ley de probabilidad que sigue, que en este caso sabemos es una \(t\)-Student con \(n-1\) grados de libertad. Y dado que se tiene una distribución muestral, podemos obtener un valor de probabilidad asociado con el cual tomar una decisión sobre si la succinilcolina disminuye o no la cantidad de andrógenos en la sangre de los venados.