5.1 Datos no agrupados.
Para comprender los conceptos de la estadística descriptiva en datos sin agrupar, usamos el conjunto de datos obtenidos del experimento que busca evaluar la reacción de saltamontes a estímulos visuales o acústicos, que midieron el tiempo de reacción a estos antes del vuelo:
A estímulos acústicos: \(86, 102, 103, 99, 108, 100, 118, 108, 109, 113, 114, 107, 107, 117, 120, 101, 126, 109, 106\).
A estímulos visuales: \(72, 95, 73, 99, 71, 90, 102, 97, 71, 75, 80, 70, 100, 104, 81, 103, 101, 103, 77, 78, 89\).
5.1.1 Medidas de Tendencia central.
El promedio se define como:
\[\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^k f_ix_i}{n}\]
dónde \(x_i\) es la \(i\)-ésima observación, y \(f_i\) es la frecuencia absoluta de la observación (cuantas veces se repite \(x_i\) entre el número de observaciones), y la sumatoria se hace sobre los \(k\) observaciones únicas (las observaciones repetidas no se toman en cuenta, ya se están tomando en cuenta al multiplicar por \(f_i\) el valor observado repetido).
Para el tiempo de reacción a estímulos acústicos se calcularía entonces: \[\begin{aligned} \bar{X}_a &= \frac{86+102+103+99+2\times108+100+118+109+113+114+2\times107+117+120+101+126+109+106}{19} \\ &= 108{,}05 \text{ segundos} \end{aligned}\] Procediendo de igual forma para el tiempo de reacción a estímulos visuales se obtiene \(\bar{X}_v=87{,}19\) segundos (¡verifícalo!).
La mediana para datos agrupados se consigue siguiendo los siguientes pasos:
- Se ordenan de menor a mayor las observaciones.
- Se asignan índices a los datos ordenados desde \(1\) a \(n\): al menor dato se le asigna el índice \(1\), al siguiente el \(2\), y así sucesivamente.
- Se calcula el índice de posición de la mediana como \((n + 1)/2\) si \(n\) es impar. Si \(n\) es par se calculan los índices de posición \((n-1)/2\) y \((n+1)/2\).
- La mediana es entonces: \[M = \begin{cases} x_{(n + 1)/2}, & \text{ si }n\text{ es impar}. \\ \frac{x_{(n-1)/2} + x_{(n+1)/2}}{2}, & \text{ si }n\text{ es par.} \end{cases}\]
Para el caso del tiempo de reacción a estímulos acústicos, tenemos que los datos ordenados son: \[\begin{aligned} &86_{(1)}, 99_{(2)}, 100_{(3)}, 101_{(4)}, 102_{(5)}, 103_{(6)}, 106_{(7)}, 107_{(8)}, 107_{(9)}, 108_{(10)}, 108_{(11)}, 109_{(12)}, 109_{(13)}, 113_{(14)}, \\ &114_{(15)}, 117_{(16)}, 118_{(17)}, 120_{(18)}, 126_{(19)} \end{aligned}\] dónde el subscrito entre paréntesis corresponde al índice dado al dato. Cómo \(n=19\) es impar, se calcula el índice de posición \((n+1)/2 = 10\). Ubicamos en los datos ordenados la observación con el índice \(10\): \[\begin{aligned} &86_{(1)}, 99_{(2)}, 100_{(3)}, 101_{(4)}, 102_{(5)}, 103_{(6)}, 106_{(7)}, 107_{(8)}, 107_{(9)}, \color{red}{108_{(10)}}, 108_{(11)}, 109_{(12)}, 109_{(13)}, 113_{(14)}, \\ &114_{(15)}, 117_{(16)}, 118_{(17)}, 120_{(18)}, 126_{(19)} \end{aligned}\] y este valor corresponde a la mediana, de forma que: \[M =108 \text{ segundos}\] Se puede proceder de igual forma con el tiempo de reacción a estímulos visuales y obtener \(M = 89\text{ segundos}\) (¡verifícalo!).
La moda para datos no agrupados es la observación con la máxima frecuencia registrada (la frecuencia con la mayor magnitud):
\[Moda(\{x_i\}_{i=1}^n) = \{x_i \vert f_{x_i} = max(\{f_{x_1}, f_{x_2}, \ldots, f_{x_n}\})\}\]
(la notación \(\{x_i\}_{i=1}^k\) y \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\) son equivalentes, es decir, \(\{x_i\}_{i=1}^n = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\)). Para calcular la moda se siguen los siguientes pasos:
- Se ordenan los datos de menor a mayor.
- Se calculan las frecuencias absolutas \(f_{x_i}\) contando el número de veces que la magnitud de una observación se repite.
- La moda es el valor que más se repita. Si hay más de un valor con la misma frecuencia absoluta, entonces la moda es un conjunto de todos los valores con la misma frecuencia absoluta.
En el caso del tiempo de reacción a estímulos acústicos, los datos ordenados son: \[\begin{aligned} &86_{(1)}, 99_{(1)}, 100_{(1)}, 101_{(1)}, 102_{(1)}, 103_{(1)}, 106_{(1)}, 107_{(2)}, 108_{(2)}, \\ &109_{(2)}, 113_{(1)}, 114_{(1)}, 117_{(1)}, 118_{(1)}, 120_{(1)}, 126_{(1)} \end{aligned}\] donde se muestra como subscrito en paréntesis la frecuencia absoluta \(f_{x_i}\). Como la \(max(\{f_{x_i}\}) = 2\), que es la frecuencia absoluta de \(107, 108\) y \(109\) todos en segundos, por lo que \(Moda(\{x_i\}_{i=1}^n) = \{107, 108, 109\}\) y los datos son multimodales.
En el caso de estímulos visuales, \(max(\{f_{x_i}\}) = 2\) para \(71\) y \(103\) todos en segundos, por lo que \(Moda(\{x_i\}_{i=1}^n) = \{71, 103\}\) segundos (¡verifícalo!).
A continuación se muestra un resumen de los estadísticos de tendencia central calculados para los tiempos de reacción acústico y visual, usando R:
acoustic <- c(86, 102, 103, 99, 108, 100, 118, 108, 109, 113, 114, 107, 107, 117, 120, 101, 126, 109, 106)
visual <- c(72, 95, 73, 99, 71, 90, 102, 97, 71, 75, 80, 70, 100, 104, 81, 103, 101, 103, 77, 78, 89)
# Para el calculo de la moda
f_a_acoustic <- table(acoustic)
mode_acoustic <- names(f_a_acoustic)[which(f_a_acoustic == max(f_a_acoustic))]
f_a_visual <- table(visual)
mode_visual <- names(f_a_visual)[which(f_a_visual == max(f_a_visual))]
tibble(
Estimulo = c("Acústico", "Visual"),
Media = c(mean(acoustic), mean(visual)),
Mediana = c(median(acoustic), median(visual)),
Moda = c(paste(mode_acoustic, collapse=", "), paste(mode_visual, collapse=", "))
) %>%
kbl()| Estimulo | Media | Mediana | Moda |
|---|---|---|---|
| Acústico | 108.05263 | 108 | 107, 108, 109 |
| Visual | 87.19048 | 89 | 71, 103 |
donde se muestra que:
- Para los tiempos de reacción a estímulos acústicos, la media y la mediana coinciden bastante, y aunque la moda consiste de tres elementos, la media y la mediana caen dentro de ese conjunto, lo cual indica que la distribución consiste de un solo pico simétrico.
- Para los tiempos de reacción a estímulos visuales, la mediana se desvía ligeramente de la media, indicando que la distribución es algo simétrica, pero como las modas están alejadas en promedio unas 16 unidades de la media/mediana, y unas 30 unidades entre sí, podemos decir que la distribución consiste de dos picos.
Lo anterior implica que los saltamontes responden de forma única a estímulos acústicos, pero a los estímulos visuales una parte de la población de saltamontes responde rápidamente y la otra parte no tan rápido.
5.1.2 Medidas de posición.
Para los datos no agrupados, los cuantiles se pueden calcular siguiendo los siguientes pasos:
- Se ordenan los datos de menor a mayor.
- Se asignan índices a las posiciones de cada observación.
- Se calcula la posición de los cuantiles usando: \[C_i = \begin{cases} \frac{n\times i}{d}, \text{ si }n\text{ es par.} \\ \frac{(n+1)\times i}{d}, \text{ si }n\text{ es impar.} \end{cases}\]
- Ubicamos las observaciones \(X_{C_i}\) correspondientes a cada cuantil. Si \(C_i\) no es un entero, se calcula el promedio \(x_{C_i} = (x_{(C_i - 0{,}5)} + x_{(C_i + 0{,}5)}) / 2\).
dónde la \(i\) es un entero que corresponde al \(i\)-ésimo cuantil (ve más abajo el ejemplo), y la \(d\) representa en cuántas partes queremos dividir la distribución. Por ejemplo, si quisiéramos calcular los cuartiles, tendríamos que dividir la distribución en cuatro partes estableciendo \(d=4\), y las \(i\) tendrían valores de \(1, 2\) y \(3\) para los cuartiles \(Q_1, Q_2\) y \(Q_3\), respectivamente (cambiamos la notación de \(C_i\) a \(Q_i\) debido a que así se denotan usualmente en otros libros de texto y recursos).
Para los tiempos de reacción ante estímulos acústicos ya se tienen los datos ordenados antes, junto con índices. Para calcular los cuartiles, como \(n=19\) es impar, calculamos \(Q_i = (19 + 1)\times i/4 = 5i\), por lo que: \[\{Q_1, Q_2, Q_3\} = \{5, 10, 15\}\] Buscamos las observaciones en las posiciones dadas por el conjunto anterior: \[\begin{aligned} &86_{(1)}, 99_{(2)}, 100_{(3)}, 101_{(4)}, \color{red}{102_{(5)}}, 103_{(6)}, 106_{(7)}, 107_{(8)}, 107_{(9)}, \color{red}{108_{(10)}}, 108_{(11)}, 109_{(12)}, 109_{(13)}, 113_{(14)}, \\ &\color{red}{114_{(15)}}, 117_{(16)}, 118_{(17)}, 120_{(18)}, 126_{(19)} \end{aligned}\] Por lo tanto, los cuartiles son: \[\{x_{Q_1}, x_{Q_2}, x_{Q_3}\} = \{102, 108, 114\}\]
Notamos dos cosas: la primera es que la mediana y el cuartil 2 coinciden como se esperaba. Segundo, si vemos los datos ordenados con los cuartiles en rojo, vemos que entre cada cuartil hay exactamente 4 datos, es decir, la distribución se dividió en cuatro partes, cada una con exactamente la misma cantidad de datos.
Para los tiempos de reacción a estímulos visuales, se puede encontrar que \(\{Q_1, Q_2, Q_3\} = \{5{,}5; 11; 16{,}5\}\). Esta vez, los cuartiles son decimales, por lo que podemos usar el valor promedio de las observaciones entre las observaciones adyacentes. Por ejemplo, para \(Q_1 = 5{,}5\), se ubican las observaciones \(x_5 = 73\) y \(x_6 = 75\) (que son los enteros adyacentes a \(5{,}5\)) y calculamos el promedio \((73 + 75) / 2 = 74\). Realizamos el mismo procedimiento para el tercer cuartil y entonces \(\{x_{Q_1}, x_{Q_2}, x_{Q_3}\} = \{74; 89; 100{,}5\}\) (¡Verifica los resultado!).
Ejercicio. Calcula para los datos de tiempos de reacción de saltamontes a estímulos acústicos y visuales, los deciles (\(d=10\)) y percentiles (\(d = 100\)).
A continuación, se resumen los estadísticos de posición en conjunto con los de tendencia central para los tiempos de reacción (añadimos por conveniencia el mínimo y máximo valor registrado):
tibble(
Estimulo = c("Acústico", "Visual"),
Min = c(min(acoustic), min(visual)),
Q_1 = c(102, 74),
Media = c(mean(acoustic), mean(visual)),
Mediana = c(median(acoustic), median(visual)),
Q_3 = c(114, 100.5),
Max = c(max(acoustic), max(visual)),
Moda = c(paste(mode_acoustic, collapse=", "), paste(mode_visual, collapse=", "))
) %>%
kbl()| Estimulo | Min | Q_1 | Media | Mediana | Q_3 | Max | Moda |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Acústico | 86 | 102 | 108.05263 | 108 | 114.0 | 126 | 107, 108, 109 |
| Visual | 70 | 74 | 87.19048 | 89 | 100.5 | 104 | 71, 103 |
donde podemos ver que la distribución de datos en el grupo que recibió estímulos acústicos es más equitativa, ya que los cuartiles se distancian uno del otro en \(6\) unidades, mientras que los cuartiles de los datos de estímulos visuales se distancian \(15\) y \(11{,}5\) unidades, por lo que hay más datos hacia tiempos de reacción altos, y no tanto en tiempos de reacción bajos. Esto ayuda a enfatizar la asimetría pequeña de la distribución de estímulos visuales, y la simetría de la de estímulos acústicos.
5.1.3 Medidas de Dispersión.
El recorrido o rango se define como la diferencia con respecto al valor máximo y el mínimo:
\[R = x_{max} - x_{min}\]
Para los tiempos de reacción se tiene que para estímulos acústicos \(R_a = 126 - 86 = 40\) segundos, y para estímulos visuales \(R = 104 - 70 = 34\) segundos.
Esto quiere decir, que el tiempo de reacción a estímulos visuales ocupa una mayor cantidad de posibles observaciones, lo cual lo hace más variable la respuesta que la respuesta a estímulos acústicos.
El rango intercuartílico (\(IQR\)) es un recorrido pero tomado desde el primer cuartil al tercer cuartil:
\[IQR = Q_3-Q_1\]
Para los tiempos de reacción a estímulos acústicos \(IQR = 114 -102 = 12\) segundos, mientras que para estímulos visuales \(IQR = 100{,}5 - 74 = 26{,}5\) segundos.
Esto quiere decir que el 50% de las observaciones típicas para la respuesta a estímulos acústicos caen en un intervalo más pequeño comparado con la respuesta típica a estímulos visuales, haciendo el tiempo de reacción más consistente en el primer caso.
La varianza se define como:
\[S^2 = \frac{\sum_{i=1}^k f_i(x_i - \bar{X})^2}{n - 1}\]
es decir, a cada observación le quitamos el valor medio, y al resultado lo elevamos al cuadrado. Luego, sumamos los resultados y dividimos entre \(n-1\).
Para los datos de tiempos de reacción a estímulos acústicos, se tiene que las diferencias con respecto a la media son: \[\begin{aligned} &-22{,}05; -6{,}05; -5{,}05; -9{,}05; -0{,}05; -8{,}05; 9{,}95; -0{,}05; 0{,}95; \\ &4{,}95; 5{,}95; -1{,}05; -1{,}05; 8{,}95; 11{,}95; -7{,}05; 17{,}95; 0{,}95; -2{,}05 \end{aligned}\] donde las desviaciones más grandes son aquellas que se alejan más de la media. Elevando al cuadrado permite eliminar los signos, de forma que al sumar no se cancelen los terminos, se obtiene: \[\begin{aligned} &486{,}32; 36{,}63; 25{,}53; 81{,}95; 0; 64{,}84; 98{,}95; 0; 0{,}9; 24{,}48; \\ &35{,}37; 1{,}11; 1{,}11; 80{,}06; 142{,}74; 49{,}74; 322{,}11; 0{,}9; 4{,}21 \end{aligned}\] Luego, sumando estos valores se obtiene: \[S^2 = \frac{1456{,}95}{19 - 1} = 80{,}94\text{ s}^2\] Para los tiempos de reacción a estímulos visuales se tiene \(S^2= 167{,}16\text{ s}^2\) (verifícalo!).
La desviación estándar es:
\[S = \sqrt{S^2}\]
Y sirve como medida de la distancia promedio de las observaciones con respecto a la media.
Usando el resultado anterior, se tiene para los tiempos de reacción a estímulos acústicos \(S = 8{,}997\) segundos, y para los tiempos de reacción a estímulos visuales \(S = 12{,}929\) segundos.
Esto quiere decir que el \(68{,}2\)% de las observaciones típicas para la respuesta a estímulos acústicos caen a una distancia de una \(\sim9\) segundos de la media, mientras que para los estímulos visuales caen a unos \(\sim13\) segundos de la media, haciendo más variable la respuesta a estímulos visuales.
La última medida de variación importante es el coeficiente de variación, \(CV\), que se define como:
\[CV = \frac{S}{\bar{X}}\]
Y nos dice que tan grande es la desviación estándar con respecto a la media. Para una distribución normal este valor es \(\sim0{,}3\) (\(30\)% en valor porcentual).
Para los tiempos de reacción se tiene que para estímulos acústicos \(CV = 8{,}997/ 108{,}05 = 0{,}0833\) (\(\sim8{,}3\)%), y para estímulos visuales \(CV = 12{,}929 / 87{,}19 = 0{,}1483\) (\(\sim14{,}8\)%).
Esto quiere decir, que el tiempo de reacción a estímulos visuales tiene una variación mayor (de aproximadamente 6% mayor) que la respuesta a estímulos acústicos, dado que la desviación estándar representa una mayor proporción de la magnitud de la media.
Resumimos los estadísticos de dispersión a continuación:
tibble(
Estimulo = c("Acústico", "Visual"),
Rango = c(max(acoustic) - min(acoustic), max(visual) - min(visual)),
IQR = c(114 - 102, 100.5 - 74),
Varianza = c(var(acoustic), var(visual)),
Std.Dev = c(sd(acoustic), sd(visual)),
CV = c(sd(acoustic) / mean(acoustic), sd(visual) / mean(visual)) * 100
) %>%
kbl()| Estimulo | Rango | IQR | Varianza | Std.Dev | CV |
|---|---|---|---|---|---|
| Acústico | 40 | 12.0 | 80.94152 | 8.996751 | 8.326267 |
| Visual | 34 | 26.5 | 167.16190 | 12.929111 | 14.828581 |
5.1.4 Medidas de Forma.
El coeficiente de asimetría es una medida de forma que busca cuantificar la simetría de una distribución. Se calcula como:
\[A = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{X})^3}{n S^3}\]
Para una distribución simétrica, se esperaría obtener el mismo número de diferencias \((x_i - \bar{X})^3\) negativas como positivas, y al sumar la magnitud de todas las diferencias negativas, esta sería de igual magnitud que la suma de todas las diferencias positivas, por lo que \(A = 0\) si la distribución es simétrica (aunque lo contrario no es cierto: el que \(A = 0\) no asegura que la distribución sea simétrica).
La asimetría puede ser positiva o negativa dependiendo de la dirección del sesgo. Para distribuciones sesgadas hacia la derecha, \(A > 0\). Para distribuciones sesgadas hacia la izquierda, \(A < 0\).
Se puede calcular la sumatoria de cubos para los tiempos de reacción a estímulos acústicos y visuales, y obtener el coeficiente de asimetría, que para las población de saltamontes sometida a estímulos acústicos \(A = -0{,}23\), y para la que fue sometida a estímulos visuales \(A = -0{,}01\).
Esto muestra que los tiempos de reacción a estímulos visuales es solo muy ligeramente asimétrica, pero que la de tiempos de reacción a estímulos acústicos es in poco más sesgada hacia la izquierda (aunque no tan apreciablemente).
La curtosis se define como:
\[K = \frac{\sum_{i=1}^n(x_i - \bar{X})^4}{n S^4} - 3\]
lo cual nos dice algo sobre la forma como se concentran los datos alrededor de la media. Para la distribución normal (que es simétrica y se usa como estándar de comparación) se puede verificar que \(K = 0\). Se dice entonces que la distribución: * Es platicúrtica si \(K < 0\), y esto implica que las distribuciones extremas son más probables con respecto a la normal. * Es mesocúrtica si \(K=0\), y las observaciones se distribuyen más como una normal. * Es leptocúrtica si \(K > 0\), y entonces las observaciones tienden a aglomerarse alrededor de la media más de lo que ocurre en la distribución normal.
Para las población de saltamontes sometida a estímulos acústicos \(K = 0{,}166\), y para la que fue sometida a estímulos visuales \(K = -1{,}79\).
Esto muestra que los tiempos de reacción a estímulos acústicos se asemeja a una distribución mesocúrtica y los tiempos de reacción a estímulos visuales es platicúrtica, indicando una distribución que tiene colas pesadas, siendo la de estímulos visuales mucho más dispersa alrededor de la media (esto tiene sentido dado nuestro descubrimiento de que se trata de una distribución multimodal).
tibble(
Estimulo = c("Acústico", "Visual"),
Asimetria = c(1 / 19, 1 / 21) * c(sum((acoustic - mean(acoustic)) ** 3) / sd(acoustic) ** 3, sum((visual - mean(visual)) ** 3) / sd(visual) ** 3),
Curtosis = c(1 / 19, 1 / 21) * c(sum((acoustic - mean(acoustic)) ** 4) / sd(acoustic) ** 4, sum((visual - mean(visual)) ** 4) / sd(visual) ** 4) - 3
) %>%
kbl()| Estimulo | Asimetria | Curtosis |
|---|---|---|
| Acústico | -0.2299108 | 0.1659499 |
| Visual | -0.0100155 | -1.7877228 |
Ejercicio Para el siguiente conjunto de datos de pesos de individuos de una población, separados en Machos (M) y Hembras (H), realice un análisis descriptivo.
# Datos Diferencias Peso de Machos y hembras
ungrouped <- tibble(
Sex = unlist(strsplit("HMHMHMHMMHMMHHHMHMMHMHMMHMMHHMHMMHMMHMHMMHMHMMHHMM", "")),
Peso = c(98.5, 150.6, 108.3, 159.4, 162.6, 122.5, 118.5, 167.5, 170.5, 120.4, 177.5, 186.5, 115.4, 115.5, 52.5, 157.6, 134.4, 148.5, 131.5, 143.4, 145.6, 108.6, 155.5, 110.6, 154.5, 183.5, 191.5, 128.6, 135.4, 195.4, 137.5, 205.6, 190.7, 120.5, 188.7, 176.3, 118.5, 158.5, 116.5, 161.4, 165.5, 142.6, 164.6, 120.5, 170.4, 195.5, 132.5, 129.5, 215.6, 176.5)
)